基本初等函数微分公式表

基本初等函数微分公式表

在微积分学中，微分是研究函数变化率的重要工具。以下是一些常见的基本初等函数的微分公式，这些公式是求解复杂函数导数的基础。

1. 常数函数：

   • 函数形式：$ f(x) = c $（其中c为常数）
   • 导数：$ f'(x) = 0 $

2. 幂函数：

   • 函数形式：$ f(x) = x^n $（其中n为实数）
   • 导数：$ f'(x) = nx^{n-1} $

3. 指数函数：

   • 函数形式：$ f(x) = a^x $（其中a > 0且a ≠ 1）
   • 导数：$ f'(x) = (\ln a) \cdot a^x $
   • 特别地，当a = e（自然对数的底数）时，有：
     • 函数形式：$ f(x) = e^x $
     • 导数：$ f'(x) = e^x $

4. 对数函数：

   • 函数形式：$ f(x) = \log_a{x} $（其中a > 0且a ≠ 1）
   • 导数：$ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
   • 特别地，当a = e时，即自然对数函数，有：
     • 函数形式：$ f(x) = \ln{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \frac{1}{x} $

5. 三角函数：

   • 正弦函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \sin{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \cos{x} $
   • 余弦函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \cos{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\sin{x} $
   • 正切函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \tan{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \sec^2{x} $（或写作$\frac{1}{\cos^2{x}}$）
   • 余切函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \cot{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\csc^2{x} $（或写作$-\frac{1}{\sin^2{x}}$）
   • 正割函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \sec{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \sec{x} \tan{x} $
   • 余割函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \csc{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\csc{x} \cot{x} $

6. 反三角函数：

   • 反正弦函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \arcsin{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
   • 反余弦函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \arccos{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
   • 反正切函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \arctan{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} $
   • 反余切函数（有时称为反余正切函数）：
     • 函数形式：$ f(x) = \arccot{x} $ 或 $ f(x) = \text{arcoth}{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\frac{1}{1+x^2} $

7. 双曲函数：

   • 双曲正弦函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \sinh{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \cosh{x} $
   • 双曲余弦函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \cosh{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \sinh{x} $
   • 双曲正切函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \tanh{x} $
     • 导数：$ f'(x) = \sech^2{x} $（或写作$\frac{1}{\cosh^2{x}}$）
   • 双曲余切函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \coth{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\csch^2{x} $（或写作$-\frac{1}{\sinh^2{x}}$）
   • 双曲正割函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \sech{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\sech{x} \tanh{x} $
   • 双曲余割函数：
     • 函数形式：$ f(x) = \csch{x} $
     • 导数：$ f'(x) = -\csch{x} \coth{x} $

8. 复合函数与链式法则： 对于复合函数f(g(x))，其导数为： [ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) ] 这被称为链式法则。

9. 乘积法则与商法则：

   • 乘积法则：对于两个可导函数u(x)和v(x)，有： [ (uv)' = u'v + uv' ]
   • 商法则：对于两个可导函数u(x)和v(x)（v(x) ≠ 0），有： [ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

以上列出了微积分中一些基本的初等函数及其导数公式。掌握这些公式对于理解和应用微积分至关重要。