要证明U交W是V的子向量空间，我们需要证明它满足向量空间的两个主要性质，即对加法和数乘封闭。
首先，我们来证明U交W对加法封闭。假设u和v都是U交W中的向量，这意味着u和v既属于U也属于W。因为U和W都是V的子向量空间，它们对加法封闭，所以u+v既属于U也属于W，即u+v属于U交W。因此，U交W对加法封闭。
其次，我们来证明U交W对数乘封闭。假设k是一个标量，u是U交W中的一个向量。因为u属于U也属于W，且U和W都是V的子向量空间，它们对数乘封闭，所以ku既属于U也属于W，即ku属于U交W。因此，U交W对数乘封闭。
综上所述，我们证明了U交W满足向量空间的两个主要性质，即对加法和数乘封闭，所以U交W是V的子向量空间。
作为一个具体的例子，我们可以考虑三维向量空间R^3，其中U是x-y平面（即z坐标为0的所有向量的集合），W是y-z平面（即x坐标为0的所有向量的集合）。那么U交W就是y轴（即x和z坐标都为0的所有向量的集合），这是R^3的一个子向量空间。这个例子直观地展示了U交W如何成为一个子向量空间。
