所谓梅森数，是指形如2p－1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp 。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。用因式分解法可以证明，若2n－1是素数，则指数n也是素数；反之，当n是素数时，2n－1（即Mp）却未必是素数。前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。目前仅发现51个梅森素数，最大的是M82589933（即282589933－1），有24862048位。是否存在无穷多个梅森素数是未解决的著名难题之一。17世纪，法国数学家马林·梅森（1588～1648）对2p－1型的数进行了更为全面深入地研究。1644年，梅森在其著作中提出了他认为的四个2p－1型素数：M31、M67、M127和M257，这就是著名的 “梅森断言” 。梅森在提出 “断言” 四年之后就去世了。后来人们从梅森的断言中找到了不少错漏，并没有把任何一个2p－1型素数的 “发现权” 归属于他。不过，人们为了纪念梅森在2p－1型素数研究中所做的开创性工作，以后就把这种类型的素数称为 “梅森素数” 长期以来人们一直以为所有2p－1型的数可能都是素数，但雷吉乌斯在1536年纠正了这一错误观点。他指出M11=23×89，并不是素数。由此人们开始深入思考哪些2p－1型的数才是素数？这样的素数又有多少？人类寻找2p－1型素数之路开始真正走上正轨。首先对2p－1型的数进行整理的是意大利数学家彼得罗·卡塔尔迪（1548～1626）。1588年，卡塔尔迪先是正确地指出p=17和19，2p－1是素数；但他之后又提出p=23、29、31和37，2p－1也都是素数。在卡塔尔迪所处的年代，判断2p－1型的数是不是素数极其困难。虽然卡塔尔迪的结论中p=23、29、37时都不是素数，但人们还是把M17和M19两个数归功于他的发现。手算笔录的时代，每前进一步，都显得格外艰难。1772年，瑞士大数学家莱昂哈德·欧拉（1707～1783）在双目失明的情况下，靠心算证明了M31的确是素数。这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。森素数的研究在100年后又有了新的进展。19世纪70年代，法国数学家爱德华·卢卡斯（1842～1891）提出了一个用来判别Mp是否为素数的重要定理——卢卡斯定理，为梅森素数的寻找提供了有力的工具1876年，卢卡斯证明M127为素数，长达39位。19世纪末至20世纪初，人们利用卢卡斯定理又陆续找到了三个梅森素数。1883年，俄国数学家伊凡·波佛辛（1827～1900）证明M61为素数，梅森还漏掉了M89和M107，它们分别在1911年和1914年被美国数学家拉尔夫·鲍尔斯（1875～1952）发现。梅森的断言还有两处错误。1876年，卢卡斯第一个否定了 “M67为素数” 这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论，但他并未找到其因子。直到1903年，才由数学家柯尔（1861～1926）算出M67=193707721×761838257287。1922年，数学家克莱契克（1882～1957）验证了M257并不是素数，而是合数。20世纪30年代，美国数学家莱默（1905～1991）改进了卢卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即卢卡斯-莱默检验法：Mp>3是素数当且仅当Lp－2=0，其中L0=4，Ln+1= ( Ln2－2 ) modMp。这一方法非常适合于计算机运算，因此在 “计算机时代” 发挥了重要作用。使用计算机，人们接连发现了当p=521，607，1279，2203，2281，3217，4253，4423，9689，9941，11213，19937，21701，23209，44497，86243，110503，132049，216091，756839，859433，1257787时，2^p - 1为素数。20世纪90年代中后期，在美国程序设计师沃特曼和库尔沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——因特网梅森素数大搜索（GIMPS）。GIMPS可以说是素数之王，接连发现了p = 1398269，2976221，3021377，6972593，13466917，20996011，24036583，25964951，30402457，32582657，37156667，42643801，43112609，57885161，74207281，77232917时2^p - 1为素数。目前已知最大梅森素数为M82589933，也就是2^82589933 - 1，该素数长达24862048位。至2018年12月，总计发现51个梅森素数
